استخراج پرشهای درونزا در بازارهای مالی با استفاده از روش تحلیلی ضرایب کرامرز- مویال

نویسندگان
مهدی سالمی
حسن خداویسی
دانشکده مدیریت و اقتصاد، دانشگاه ارومیه
چکیده
براساس حقایق آماری، رفتار قیمت در بازارهای مالی صرفاً ‏یک فرآیند پیوسته نیست بلکه ما پرشهایی را در قیمت‎ ‎دارائیها مشاهده می کنیم که ممکن است بروزا یا درونزا باشند. ادعا می‌شود ‏منبع پرشهای برونزا، اخبار بوده و منبع پرشهای درونزا، رفتار متقابل بین عوامل بازار می‌باشد. هدف ما این است که این پرشهای درونزا را به صورت ‏تابعی از متغیر حالت سیستم و زمان استخراج کنیم. ابتدا با معرفی معادله لانژون به عنوان ‏دینامیک حاکم و پیوند دادن پارامترهای آن با ضرایب کرامرز-مویال نشان می‌دهیم که می‎توان این پارامترها ‏را براساس ممان‌های شرطی استخراج کرد‎.‎‏ در ادامه معادله لانژون تعمیم یافته را جهت مدلسازی پرشهای مشاهده شده در داده‌ها معرفی می‌کنیم و ‏نشان می‌دهیم که در مدل‎ ‎جدید نیز، ضریب رانش برابر ضریب اول کرامرز-مویال می‌باشد ولی ضریب پخش در این مورد کمتر از ضریب دوم ‏کرامرز-مویال می‌باشد. در مدل ما جمله پرش متشکل از دو مولفه نرخ و اندازه پرش می‌باشد و نشان می‌دهیم که این دو مولفه جدید نیز براساس ضرایب کرامرز-مویال قابل استخراج می‌باشند. همچنین معیاری عملی براساس ضرایب چهارم و ششم کرامرز-مویال، جهت انتخاب بین مدل ‏پخش و پخش- پرش معرفی می‌کنیم.‏ استفاده از روش کرامرز- مویال برای استخراج معادله لانژون تعمیم یافته نشان ‏می‌دهد که این روش با دقت خوبی قادر به بازسازی فرآیند می‌باشد. برای ارزیابی دقت بازسازی انجام شده از آزمونهای موجود در نظریه اطلاعات استفاده شده است. در یک کاربرد عملی، دینامیک قیمت یک دارایی را استخراج کرده و سپس با شبیه سازی نشان داده‌ایم که این مدل قادر هست سوالات آماری رایج در مورد فرآیندهای تصادفی را با دقت خوبی پاسخ دهد. با محاسبه تابع پتانسیل از روی ضریب اول کرامرز- مویال نشان می‌دهیم که پتانسیل مقید کننده رفتار فرآیند مورد مطالعه، یک سهمی درجه دوم بوده و در نتیجه یک تعادل پایدار در نقطه صفر داریم. با استفاده از دینامیک استخراج شده نشان می‌دهیم که این مدل توانایی پیش بینی خارج از نمونه خوبی نیز دارد.
کلیدواژه‌ها
دینامیک قیمت دارایی
توزیع زمان اولین گذر
مدل پخش- پرش
معادله فوکر- پلانک
معادله لانژون تعمیم یافته
تابع پتانسیل

عنوان مقاله English

Extracting Endogenous Jumps in Financial Markets Analytically Using Kramers-Moyal Method

نویسندگان English

Mehdi Salemi
Hassan khodavaisi
Faculty of Economics and Management, Department of Economics Urmia University
چکیده English

Based on the stylized fact, the behavior of price in financial markets is not a continuous process, but we observe jumps in the price that can be endogenous or exogenous. it is claimed that the source of exogenous jumps is news, and the source of endogenous jumps is internal interactions between the market agents. Our goal is to extract these endogenous jumps as a function of the system state variable and time. First, by introducing the Langevin equation as the governing dynamics and linking its parameters with Kramers-Moyal coefficients, we show that these parameters can be extracted based on conditional moments. Next, we use the generalized Langevin equation to model the observed jumps in the data and show that in the new model, the drift coefficient is still equal to the first Kramers-Moyal coefficient, but the diffusion coefficient in this case is lower than the second Kramers-Moyal coefficient. In our model, the jump term consists of two components: jump rate and jump size. We show that these two new components can also be extracted based on Kramers-Moyal coefficients. Also, we introduce a practical criterion based on the fourth and sixth Kramers-Moyal coefficients to choose between the diffusion and jump-diffusion model. Applying the Kramers-Moyal method to extract the generalized Langevin equation shows that this method can accurately reconstruct the process. Tests to evaluate the accuracy of the reconstruction have been used from the information theory. In a practical application, we have extracted the price dynamics of an asset and then shown by simulation that this model is able to answer common statistical questions about stochastic processes with good accuracy. Also, by performing simulations, we show that this model has a good out-of-sample prediction ability. The potential function, which is calculated from the first KM coefficient, is a quadratic parabola for the studied process, and as a result, we have a stable equilibrium at the zero point.

کلیدواژه‌ها English

Asset Price Dynamics
First time passage distribution
Fokker-Planck equation
Generalized Langevin equation
Jump-diffusion model
Potential Function
Anvari, M., Tabar, M. R. R., Peinke, J., & Lehnertz, K. (2016). Disentangling the stochastic behavior of complex time series. Scientific Reports, 6(1), 35435.
Arani, B. M., Carpenter, S. R., Lahti, L., Van Nes, E. H., & Scheffer, M. (2021). Exit time as a measure of ecological resilience. Science, 372(6547), eaay4895.
Barro, R. J. (2009). Rare disasters, asset prices, and welfare costs. American economic review, 99(1), 243-264.
Brunnermeier, M., & Krishnamurthy, A. (2020). Corporate debt overhang and credit policy. Brookings Papers on Economic Activity, 2020(2), 447-502
Bouchaud, J.-P., Bonart, J., Donier, J.,&Gould, M. (2018). Trades, quotes and prices:financial markets under the microscope. Cambridge University Press.
Campbell, J. Y., & Cochrane, J. H. (1999). By force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior. Journal of political Economy, 107(2), 205-251.
Case, K. E., Shiller, R. J., & Thompson, A. (2014). What have they been thinking? Homebuyer behavior in hot and cold markets—A 2014 update.
Cochrane, J. H. (2017). Macro-finance. Review of Finance, 21(3), 945-985.
Cover, T. M. (1999). Elements of information theory. John Wiley & Sons.
Cutler, D. M., Poterba, J. M., & Summers, L. H. (1988). What moves stock prices? In: National Bureau of Economic Research Cambridge, Mass., USA.
Farmer, J. D. (2024). Making Sense of Chaos: A Better Economics for a Better World. Allen Lane.
Farmer, R. E. (2010). How the economy works: confidence, crashes and self-fulfilling prophecies. Oxford University Press.
Fosset, A., Bouchaud, J.-P., & Benzaquen, M. (2020). Endogenous liquidity crises. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2020(6), 063401.
Gabaix, X., & Koijen, R. S. (2021). In search of the origins of financial fluctuations: The inelastic markets hypothesis.
Gardiner, C. W. (1985). Handbook of stochastic methods (Vol. 3). springer Berlin.
Gennaioli, N., & Shleifer, A. (2018). A crisis of beliefs: Investor psychology and financial fragility. Princeton University Press.
Gopikrishnan, P., Plerou, V., Amaral, L. A. N., Meyer, M., & Stanley, H. E. (1999). Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices. Physical Review E, 60(5), 5305.
Greenwood, R., Hanson, S. G., Shleifer, A., & Sørensen, J. A. (2022). Predictable financial crises. The Journal of Finance, 77(2), 863-921.
Halperin, I. (2022). Phases of MANES: Multi-Asset Non-Equilibrium Skew Model of a Strongly Non-Linear Market with Phase Transitions. arXiv preprint arXiv:2203.07550.
Hansen, L. P., & Sargent, T. J. (2019). Macroeconomic Uncertainty Prices.
Hansen, L. P., & Sargent, T. J. (2022). Structured ambiguity and model misspecification. Journal of Economic Theory, 199, 105165.
He, Z., & Krishnamurthy, A. (2018). Intermediary asset pricing and the financial crisis. Annual Review of Financial Economics, 10, 173-197.
Izhakian, Y., & Benninga, S. (2011). The uncertainty premium in an ambiguous economy. The Quarterly Journal of Finance, 1(02), 323-354.
Joulin, A., Lefevre, A., Grunberg, D., & Bouchaud, J.-P. (2008). Stock price jumps: news and volume play a minor role. arXiv preprint arXiv:0803.1769.
Lehnertz, K., Zabawa, L., & Tabar, M. R. R. (2018). Characterizing abrupt transitions in stochastic dynamics. New Journal of Physics, 20(11), 113043.
Lin, J. (1991). Divergence measures based on the Shannon entropy. IEEE transactions on Information Theory, 37(1), 145-151.
Malevergne*, Y., Pisarenko, V., & Sornette, D. (2005). Empirical distributions of stock returns: between the stretched exponential and the power law? Quantitative Finance, 5(4), 379-401.
Manning, C., & Schutze, H. (1999). Foundations of statistical natural language processing. MIT press.
Marcaccioli, R., Bouchaud, J.-P., & Benzaquen, M. (2022). Exogenous and endogenous price jumps belong to different dynamical classes. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2022(2), 023403.
Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of financial economics, 3(1-2), 125-144.
Nadaraya, E. A. (1964). On estimating regression. Theory of Probability & Its Applications, 9(1), 141-142.
Nikakhtar, F., Parkavousi, L., Sahimi, M., Tabar, M. R. R., Feudel, U., & Lehnertz, K. (2023). Data-driven reconstruction of stochastic dynamical equations based on statistical moments. New Journal of Physics, 25(8), 083025.
Pawula, R. (1967). Approximation of the linear Boltzmann equation by the Fokker-Planck equation. Physical review, 162(1), 186.
Platen, E., & Bruti-Liberati, N. (2010). Numerical solution of stochastic differential equations with jumps in finance (Vol. 64). Springer Science & Business Media.
Rinn, P., Lind, P. G., Wächter, M., & Peinke, J. (2016). The Langevin approach: An R package for modeling Markov processes. arXiv preprint arXiv:1603.02036.

Risken, H., & Risken, H. (1996). Fokker-planck equation. Springer.
Shiller, R. J. (1981). Do stock prices move too much to be justified by subsequent changes in dividends?
Shiller, R. J. (2003). From efficient markets theory to behavioral finance. Journal of economic perspectives, 17(1), 83-104.
Shiller, R. J. (2014). Speculative asset prices. American economic review, 104(6), 1486-1517.
Shiller, R. J. (2017). Narrative economics. American economic review, 107(4), 967-1004.
Tabar, R. (2019). Analysis and data-based reconstruction of complex nonlinear dynamical systems (Vol. 730). Springer.
Watson, G. S. (1964). Smooth regression analysis. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A, 359-372.
Wehrli, A., & Sornette, D. (2022). The excess volatility puzzle explained by financial noise amplification from endogenous feedbacks. Scientific Reports, 12(1), 18895.